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Sí, puedes tener una tarjeta prepago y usarla con bastante libertad, pero no es posible hacerlo del todo sin identificarte.
Todas las entidades están obligadas a verificar tu identidad, por ejemplo con el DNI o el pasaporte, antes de emitir una tarjeta, incluso si es prepago. Esto se debe a la normativa de prevención del blanqueo de capitales.

Una vez la tengas, sí puedes usar una tarjeta prepago sin necesidad de vincularla a una cuenta corriente, siempre que elijas una opción que lo permita. Hay tarjetas que se pueden recargar desde otra tarjeta o desde una cuenta bancaria, sin exigir abrir una cuenta nueva.

Si quieres comparar opciones, aquí puedes ver una selección de tarjetas prepago sin comisiones y sin cuenta bancaria, como Revolut Estándar o la Virtual de BBVA, que permiten pagar online o en tiendas y controlar mejor los gastos.